페르마의 마지막 정리(Fermat's last theorem) 와 그 증명

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.                                      - Pierre de Fermat 

세 제곱수를 두 개의 세제곱수의 합으로 나타나는 것이나, 네제곱수를 두 개의 네제곱수의 합으로 나타내는 것이 불가능 하다. 일반적으로 n 제곱 수의 대하여 두 n 제곱수의 합으로 나타내는 것은 불가능 하다. 나는 이에대해 놀라운 증명을 알고 있지만 여백이 좁아 쓸 수 없다.

- 피에르 드 페르마

  위 내용은 Claude-Gaspar Bachet 이 번역한 디오판타스(Diophantus)의 '산술(Arithmetica)' 에 페르마가 여백에 써 놓은 주석이다. 이를 좀더 수학적인 식으로 표현하자면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
 

3 이상의 자연수 n 에 대해서  aⁿ + bⁿ = cⁿ 을 만족하는 0 이 아닌 정수 a,b,c 가 존재하지 않는다.

  n = 2 일 때 에는 피타고라스 수 라 해서 순서쌍 (a,b,c) 가 무수히 많은 것으로 ( 예를 들자면 (3,4,5) 같은 경우 ) 간단하게 증명이 되었지만 n 이 3 이상일 때에는 증명이 상당히 난해해 진다. ( 이 때는 존재하지 않는다. ) 이 문제는 후에 '페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem)' 이라는 이름이 붙여졌다.

페르마(Pierre de Fermat)

  페르마는 n 이 3 이상일 때에 매우 놀라운 풀이를 발견했다고 주석에 적어놓았으나 페르마로부터 어떠한 실제적 풀이도 발견하지 못하였다.

 첫번째로 페르마의 마지막 정리의 n = 4 인 특수경우에 대해 오일러(Euler) 가 무한 강하법을 통해 증명하였다. 또한 오일러는 이와 비슷한 방법으로 n = 3 일 때 도 증명하였으나 이는 곧 틀린 것으로 판명되었다. 그 후 수세기 동안 여러 특수한 n 에 대해서 증명이 되었으나 일반적으로는 증명되지 못하였다.
  n = 5 일 때는 디리클레(Dirichlet) 와 르장드르(Legendre) 가 오일러가 n = 3 일 때 이용했던 방법을 통해서 1825년에 증명하엿다. n = 7 일 때에는 15년 뒤에 가브리엘(Gabriel Lamé) 에 의해 1839년에 증명되었지만

 그의 증명 방법은 너무나 복잡하여서 그 보다 큰 소수들에 대해 적용하기가 너무 힘들어 보였다. 이 시점 부터 수학자들은 지수을 분류하여 개개의 n  에 대해 증명을 하기 보단 조금 더 일반적인 방법으로 접근하기 시작하였다.  

  그 아이디어는 소피 제르맹(Sophie Germain) 에 의해 처음으로 사용되었다. 이는 어떠한 n 에 대해서 그 방정식이 해가 없음을 보이는 것이 아닌 '만약 그 방정식에 해가 있다면 그 해는 어떠한 조건을 만족할 것이다.' 라는 방식으로 증명하는 것이다. 이를 통해 1847년에 쿰머(Kummer) 에 의해 모든 규칙적 소수(Regular prime numbers, 이는 2 와 100 사이의 37,59,67을 제외한 모든 소수들을 포함한다.) 에 대해 증명이 성립함을 보였다. 그 후 미리마노프(Mirimanoff), 비퍼리히(Wieferich), 푸르트뱅글러(Furtwängler), 판디버(Vandiver) 등이 이 특수한 경우들을 하나씩 증명해 냈다. 그러나 1915년 옌센(Jensen) 에 의해 이런 특수한 경우들은 무한히 존재한다는 것이 밝혀졌다.
 
 1823년과 1850년에 프랑스 과학 아카데미(French Academy of Sciences)에서 페르마의 마지막 정리에 대한 올바른 증명에 대해 상금을 걸었고 이는 수 많은 사람들이 수 많은 '틀린 증명' 을 보내오는 계기가 되었다. 1883년 브뤼셀(Brussels)에서도 상금이 제안되었다. 1908년 아마추어 수학자 볼프스켈(Paul Friedrich Wolfskehl) 은 10만 마르크의 상금을 괴티켄 과학 아카데미(Göttingen Academy of Sciences)에 기부하며 페르마의 마지막 정리를 증명하는 사람에게는 그 상금을 주기로 했다. 따라서 1908년 부터 1911년 까지 1000여개에 달하는 '틀린 증명' 들이 배달되었다.
 
  페르마의 마지막 정리를 정확하게  증명하려는 움직임은 1960년대 후반 부터 시작되었다. 수학자 이브(Yves Hellegouarch) 는 페르마의 마지막 정리의 해 (a,b,c) 가 완전히 다른 수학 모델인 타원 곡선과 관련이 있다는 사실을 알아냈다. 다음을 만족하는 (x,y) 는 페르마의 마지막 정리가 해가 된다.

y² = x(x − a^p)(x + b^p)

  위와 타원 곡선에는 매우 특이한 특성이 있는데 위 식의 p 가 실제 a^p + b^p = c^p 의 p 와 일치한다는 것이다. 프레이(Gerhard Frey) 는 위와 같은 타원 곡선이 너무나 특이해 만약 위가 해를 가진다면 타니야마-시무라의 추론(Taniyama-Shimura conjecture)의 반례가 된다는 사실을 증명하였다. 타니야마-시무라의 추론은 유리 계수의 모든 타원 곡선들은 완전히 다른 방식으로 만들어 질 수 있는데 이는 모듈러 함수(modular function) 을 이용해 x,y 좌표를 매개화 하는 것이다. 따라서 이 추론에 의하면 모든 타원 곡선은 반드시 유리수에서 모듈러야 하며 만약 페르마의 식이 2 보다 큰 p 에 대해 0이 아닌 해 a,b,c 를 가진다면 그 곡선은 모듈러가 아니게 되어 반례가 되버린다.

  페르마의 마지막 정리와 타니야마-시무라의 추론 사이의 관계는 약간 불완전했다. 전자를 후자로 부터 끌어내기 위해 약간 더 무언가가 필요했는데 수학자들은 흔히 '엡실론 만큼 더' 필요 하다고 했다. 이 추가적인 정보는 세르(Jean-Pierre Serre) 에 의해 확인되었고 이는 '엡실론 추론' 이라 불렸다. 결국 리벳(Ken Ribet) 은 엡실론 추론의 증명을 성공하였다. 따라서 그에 의해 반안정 타원 곡선일 때 에만 모듈러라는 것만 증명하면 페르마의 마지막 정리가 참이라는 사실을 증명 할 수 있게 되었다.

앤드류 와일즈(Andrew Wiles)

 
 리벳의 업적을 알게 된 앤드류 와일즈(Andrew Wiles) 는 모든 반안정 타원 곡선에 대해 모듈러 임을 보였다. 그는 그의 증명을 아무도 모르게 비밀스럽게 진행하였고 7년 간의 연구 동안 외부의 도움은 아주 약간만 받았다. 1993년 6월 21,22,23 일에 열린 아이작 뉴턴 연구소에서 열린 강연에서 와일즈는  타니야마-시무라의 추론에 관한 그의 증명을 언급하였고 이는 곧 페르마의 마지막 정리의 증명이였다. 와일즈는 페르마의 마지막 정리의 증명서 많은 수의 기법들을 사용하였다.  

  비록 와일즈가 닉 카츠(Nick Katz) 와 함께 프린스턴 대학교서 증명을 먼저 검토해 보았지만 강연 전 까지 알아채지 못하였다. 그러나 강연 후 그는 곧 그의 증명에 논리적 오류가 있다는 사실을 알았다. 와일즈는 그의 선배 리차드 테일러(Richard Taylor) 와 함께 오류 수정을 위해 1년을 보냈으며 수학계 및 언론의 정밀한 검토 끝에 1994년 9월에 그의 증명이 옳음이 밝혀졌다.
 
  페르마의 예상이 맞았던 것 이였다. 페르마의 마지막 정리는 참 이다.

  아래에는 페르마의 마지막 정리에 대한 앤드류의 증명이 담겨있는 pdf 파일(압축되어 있음) 이다. 증명은 150쪽 가량 되며 앞 부분에서는 증명의 전체적인 개요를 설명하고 있다.

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참고 자료
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_last_theorem
http://www.mathlove.org/pds/materials/episodes/fermat.htm