피타고라스 수 (Pythagorean triple) 와 그 해

피타고라스 수 (Pythagorean triple) 와 그 해

처음 4500 개 까지의 피타고라스 수 분포

피타고라스 수는 피타고라스 정리를 만족하는 3개의 자연수 x,y,z 를 가리킨다.
 
이 때, 위 식을 만족하는 해는 이 꼴 밖에 없다.
 
증명 )
  세 자연수 x,y,z 의 최대공약수를 d 라고 하자.
 
이 때, x,y,z 는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
 
이 때 이 식을 위 방정식에 대입하면


만약 x' , y' , z' 이 모두 짝수라면 : x' , y' , z' 가 서로소 라는데 모순 ( ∵ 셋 다 2로 나누어 지므로 )

만약 2개의 수가 짝수라면 : x',y' 이 짝수라면 2 | 좌변 이므로 2| 우변 따라서 2 | z' ( 모순 )
x' , z' 이 짝수일 때, y' 가 홀수면 (짝수)+(홀수)=(짝수) 가 되어 모순 따라서 y' 도 짝수 ( 모순 )
마찬가지 방법으로 y' , z' 이 짝수일 때 에도 모순 따라서 2개의 수가 짝수일 때 에도 해가 없다.

만약 다 짝수가 아니라면 : (홀수) + (홀수) = (짝수) = (홀수) 이므로 모순

따라서 위 방정식이 해가 존재하려면 해 중, 짝수는 1개만 존재.
이 때, z' 이 짝수라면 x', y' 은 홀수 이고,
 
가 된다. 그런데 임의의 홀수 2k-1 ( k 는 자연수 ) 에 대해서
 
따라서 모순.
결과적으로 x 또는 y 가 짝수 이다. 이 때 일반성을 잃지 않고 x 가 짝수라 하자. 따라서 x'=2a 를 만족하는 자연수 a 가 존재한다. 이 때 이를 준식에 대입하면

식을 정리하면

그런데, z' , y' 이 모두 홀수 이므로 z'+y', z'-y' 둘다 짝수.  따라서

라고 할 수 있다.
그런데, 유클리드 호제법에 의해서
 
가 성립하므로

이다. 또한 z' 가 2 와 서로소 이므로

이 된다. 따라서

이 성립한다.
따라서 ① 에서 두 서로소의 곱이 제곱수가 되었으므로 각각은 모두 제곱수 이다.

위 연립방정식을 풀면

x' 을 대입해서 구하면

이 때, x = x'd, y = y'd , z = z'd 이므로

증명 끝.