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산술평균 - 기하평균 부등식 (AM - GM Inequality) 의 증명

Mathematics

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산술 평균 - 기하 평균 부등식
(Arithmetic Mean - Geometric Mean Inequality )

eq=a_1 , a_2 ,a_3 , .... a_n \in R_0^+

일 때, 다음 부등식이 성립한다.

eq=\frac{a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_n } {n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2a_3\ ... \ a_n}

증명 방법 1) 수학적 귀납법을 통한 증명

  i) n = 1 일 때, 자명.

  ii) n = k 일 때,
 
  eq=\frac{a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_k } {k} \ge \sqrt[k]{a_1a_2a_3\ ... \ a_k}

  위 부등식이 성립함을 가정

   n = k + 1 일 때,
 
  eq=\frac{a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_{k+1} } {k+1} \ge \sqrt[k+1]{a_1a_2a_3\ ... \ a_{k+1}}
  위 부등식이 성립함을 보이자.
 
  eq=A = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_{k+1} } {k+1}
  라고 하자.
  이 때, ( 아래 식에서 k-1 개의 A 의 합 )

eq=\ge \frac {k\sqrt[k]{a_1 a_2 .... a_k} + k\sqrt[k]{a_{k+1} A^{k-1}}}{2k}

eq=\ge \frac {\sqrt[k]{a_1 a_2 .... a_k} + \sqrt[k]{a_{k+1} A^{k-1}}}{2}

eq=\ge\sqrt[k]{\sqrt{a_1a_2a_3 ... a_{k+1}A^{k-1}}}

  이 때,

eq=\frac{a_1+a_2 + .... + a_k + a_{k+1} + (k-1)A}{2k}

eq== \frac{(k+1)A + (k-1)A }{2k} = \frac{2kA}{2k} = A

따라서,
eq= \therefore \ A \ge \sqrt[k]{\sqrt{a_1a_2...a_{k+1}A^{k-1}}}

이 때, 양변을 2k 승 취해주면

eq= A^{2k} \ge a_1a_2...a_{k+1}A^{k-1} \rightarrow A^{k+1} \ge a_1a_2 ... a_{k+1}

따라서,
eq=A = \frac{a_1+a_2+ .. a_{k+1} } {k+1} \ge \sqrt[k+1]{a_1a_2 ... a_{k+1}}

( 등호는 eq=a_1 = a_2 = ... = a_{k+1} )
따라서 수학적 귀납법에 의해, 모든 자연수 n 에 대해 준 부등식이 성립한다.

증명방법 2) Pólya 의 방법

  수학자 Pólya  는 모든 실수 x 에 대해, 다음 부등식 ( 등호는 x = 0 일 때 )이 성립함을 이용해 증명하였다.
 
 eq=e^x \ge x + 1, \ \ x \in R

μ 와, ρ 를 각각 산술 평균과 기하 평균이라고 하자.

eq=\mu = \frac{a_1 + a_2 + ... a_n }{n}, \ \ \rho = \sqrt[n]{a_1a_2....a_n}

이 때, 위의 부등식에서

따라서,

eq=\prod_{i=1}^{n} \exp(\frac{a_i}{\mu} - 1) \ge \prod_{i=1}^{n}{\frac{a_i}{\mu}}


 이 때, 지수 법칙에 의해서


 위 식에서 등호가 사라진 이유는, 좌변의 exp 안의 값이 0 이 되지 않기 때문이다.
 이 때, μ 가 산술 평균이라 했으므로,

eq= \frac{1}{\mu} (\sum_{i=1}^{n}a_i ) = \frac{1}{\mu} (n \mu )= n

 따라서 좌변은 exp(n-n) = exp(0) = 1
 따라서
eq=\exp ({ \frac{1}{\mu} (\sum_{i=1}^{n}a_i - n}) = 1 > \prod_{i=1}^{n}\frac{a_i}{\mu} = \frac{\rho ^n}{\mu^n}

  결과적으로,

eq=\therefore 1 > \frac{\rho^n}{\mu^n}
eq=\therefore \mu> \rho \leftrightarrow \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}

참고로, 산술 기하 부등식의 일반화 적인 모양은 다음과 같다.

eq=a_1, a_2, ... a_n \in R_0^+, \ x_1,x_2, ... x_n \in R_0^+

eq=x_1 + x_2 + ... x_n = x , \ x>0

일 때, 다음 부등식을 만족한다.

eq=\frac{a_1x_1 + a_2x_2 + ... a_nx_n}{x} \ge \sqrt[x]{a_1^{x_1}a_2^{x_2} ... a_n^{x_n} }

이 부등식은 젠센 부등식으로 증명 가능하다.


 


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  1. 수학잘하고픈아이 2009.06.10 20:07
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    너무감사합니다.ㅎㅎ

  2. 알 수 없는 사용자 2009.08.18 23:52
     댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    젠센 부등식으로 산술기하 부등식을 증명한 포스팅을 쓴 적이 있어, 트랙백을 걸고 갑니다 +_+

  3. LJss(?) 2010.04.14 00:34
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    형
    증명방법 2에서
    시그마 exp()
    exp가 뭐에요?

  4. ^ ^ 2010.08.08 22:07
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    감사드려요~^ ^ 산술평균 기하평균 일반화한 식 증명한다구 꽤나 골치아팠는데 속이다 시원하네요!! 이런거 직접 증명하시는 분들은 얼마나 머리가 좋으신걸까요?ㅠㅠ내일 발표해야하는데 제 지식이 아니라 발표하기가 많이 찔리네요ㅠㅠ

  5. 흠 2012.11.06 20:42
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    수식마다 x박 뜨는 건 어떻게 해야되나요
    제대로 보고 싶은데..

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