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3차 함수

삼차 방정식의 기본꼴은 다음과 같다.



 이 때, x 를 다음과 같이 치환하자.

왜냐면, 위 삼차방정식의 2차항을 소거하기 위함이다. 따라서 준식은 다음과 같이 된다.

이 때 편리성을 위해서 다음과 같이 치환하자.

따라서 준식은

  이 때, 이러한 꼴의 방정식은 depressed cubic  이라부르며, 이에 대한 해법은 1545년 타르탈리아 (Tartaglia) 에 의해 처음으로 발견하였고 카르다노(Cardano)가 처음으로 출판하였다.

  일단, 새로운 문자 u , v 를 정의하여 다음과 같이 하자.

    따라서, 위 depressed cubic 을 치환해 보면 다음과 같이 된다.

 

  위를 전개해서 간단히 하면 다음과 같이 된다.


 
그런데 위에서 u, v 를 정의한 바에 따라


이므로, 위의 식은 아래와 같이 된다.


양변에 u³ 을 곱하면

그런데, 위의 조건에서

이므로, 위의 식에 대입하면 아래와 같이 된다.


따라서, 
u³ 을 y 로 치환하면 위의 식은 이차 방정식이 되므로 근의 공식에 따라 해를 구할 수 있다. 해를 구해보면,

따라서, u 는 아래와 같다


이 때, v = -p / 3u 이므로 아래와 같다.


결과적으로, t = u + v 이고, x = t - a/3 이므로 각각을 대입해서 해를 구해보면 아래와 같다. 편의상 S, T 를 아래와 같이 치환하자


eq=T = \sqrt[3]{\frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d - \sqrt{(2b^3 -9abc+27a^2d)^2 - 4(b^2 - 3ac)^3}}{2}}

  삼차 방정식의 세 근을 x₁, x₂, x₃이라고 하면


3 차 방정식의 판별식

편의상, q 와 r 을 아래와 같이 치환하자.



Δ < 0 일 때, 위 삼차방정식은 3개의 서로다른 실수 해를 갖는다.
Δ = 0 일 때, 적어도 두 개의 근이 같다.
Δ > 0 일 때, 한 개의 실수 해와, 두 개의 켤레복소수인 해를 같는다.

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  1. 2009.01.27 14:28

    비밀댓글입니다

  2. strength 2009.05.14 15:37

    마지막에서 S하고 T의 값이 같나요?

    • Favicon of https://kevin0960.tistory.com BlogIcon Psi 2009.05.14 15:50 신고

      아니요. 다릅니다. 눈을 부릅 뜨고 본다면 중간에 S 의 경우 +, T 의 경우 - 로 되있습니다. (삼중근호 안의 근호 앞 부분)

  3. Favicon of https://hummingbird.tistory.com BlogIcon 벌새 2009.06.14 00:02 신고

    엑박이 심합니다.^^

    수학을 전공하셨나봐요? 수학 관련 프로그램들이 있다는 것은 아는데 이렇게 활용하는 것은 처음봅니다. 블로그로..

  4. Favicon of https://hummingbird.tistory.com BlogIcon 벌새 2009.06.14 13:50 신고

    지금도 엑박이 가운데 여러 개가 있습니다. 이상하네요.

  5. 케존 2009.07.29 00:55

    맨마지막 3차판별식이요
    0보다 클때 3개의 서로다른근이고 0보다 작을때 한실근과 두허근 아닌가요?
    2차랑 다른가요?

  6. SeHwa 2009.09.26 11:17

    뉴튼-랩슨법으로 n차 방정식의 근을 구하는 프로그램을 만들고 있는데
    3차 방정식의 판별식 정말 큰 도움이 되었습니다.

    혹시 4차 방정식의 판별식도 구해주신다면 ㅠ.ㅠ

  7. 2010.07.15 18:52

    비밀댓글입니다

  8. 진성 2010.07.25 11:41

    근데;; 이거 근의 공식 안쓰는게 편하겟네요? 그쳐

  9. 임주빈 2010.08.18 02:53

    저기.. 위에 식에서 세제곱루트 씌워져있는수는 (S랑 T는)
    실수를 뜻하는거죠?

  10. secret 2011.01.23 15:12

    저 ... 이 글 좀 퍼가겠습니다;; ㅎ

  11. 부왘 2011.04.21 10:10

    문과 재수생인데요;
    와..
    어떤모양의 함수인지 확일할때
    미분 안써도 되네요
    감사합니다.

  12. Rhfi 2011.05.14 11:31

    psi 님 크롬에서도 엑박이 뜹니다. 파폭 온리인듯

  13. tndud1910 2015.08.02 00:05

    sitmo라고만 뜨고 그림이 안보이는데 어떡하죠?ㅠㅠㅠㅠ