3차 함수삼차 방정식의 기본꼴은 다음과 같다.
이 때, x 를 다음과 같이 치환하자.


왜냐면, 위 삼차방정식의 2차항을 소거하기 위함이다. 따라서 준식은 다음과 같이 된다.
이 때 편리성을 위해서 다음과 같이 치환하자.
따라서 준식은
이 때, 이러한 꼴의 방정식은 depressed cubic 이라부르며, 이에 대한 해법은 1545년 타르탈리아 (Tartaglia) 에 의해 처음으로 발견하였고 카르다노(Cardano)가 처음으로 출판하였다.
일단, 새로운 문자 u , v 를 정의하여 다음과 같이 하자.
따라서, 위 depressed cubic 을 치환해 보면 다음과 같이 된다.
위를 전개해서 간단히 하면 다음과 같이 된다.
결과적으로, t = u + v 이고, x = t - a/3 이므로 각각을 대입해서 해를 구해보면 아래와 같다. 편의상 S, T 를 아래와 같이 치환하자
삼차 방정식의 세 근을 x₁, x₂, x₃이라고 하면
3 차 방정식의 판별식
편의상, q 와 r 을 아래와 같이 치환하자.
Δ < 0 일 때, 위 삼차방정식은 3개의 서로다른 실수 해를 갖는다.
Δ = 0 일 때, 적어도 두 개의 근이 같다.
Δ > 0 일 때, 한 개의 실수 해와, 두 개의 켤레복소수인 해를 같는다.
'Mathematics' 카테고리의 다른 글
체비셰프의 정리 (베르트랑 공준, Betrand Postulate) (7) | 2009.04.20 |
---|---|
라그랑즈의 네제곱수 정리와 그 증명(Four square theorem) (4) | 2009.04.19 |
3차방정식의 근의 공식( 카르다노의 해법) 과 판별식 (21) | 2009.04.19 |
4차 방정식(Quartic Equation)의 페라리의 해법과 근의 공식 (4) | 2008.08.09 |
산술평균 - 기하평균 부등식 (AM - GM Inequality) 의 증명 (8) | 2008.08.08 |
모두 메르센느 소수 찾기에 도전해 봅시다. (4) | 2008.07.12 |
비밀댓글입니다
크.. 작년에 작성한 글이라서 엑박이 뜨네요. 빠른 시일내로 복구해 드리도록 하겠습니다.
마지막에서 S하고 T의 값이 같나요?
아니요. 다릅니다. 눈을 부릅 뜨고 본다면 중간에 S 의 경우 +, T 의 경우 - 로 되있습니다. (삼중근호 안의 근호 앞 부분)
엑박이 심합니다.^^
수학을 전공하셨나봐요? 수학 관련 프로그램들이 있다는 것은 아는데 이렇게 활용하는 것은 처음봅니다. 블로그로..
어, 이상하네요. 제가 보기에는 엑박이 하나도 없는데요 :(
지금도 엑박이 가운데 여러 개가 있습니다. 이상하네요.
아. Internet Explorer 를 쓰시는 군요. Firefox 에서는 잘 보인 다만, IE 에서는 오류가 나는 군요.
이참에 Firefox 로 바꿔 보시는 것이 어떠실지...
참고 : http://kevin0960.tistory.com/110
맨마지막 3차판별식이요
0보다 클때 3개의 서로다른근이고 0보다 작을때 한실근과 두허근 아닌가요?
2차랑 다른가요?
네.. 2 차 방정식이랑 다릅니다. 위 내용이 맞아요 ㅎㅎ
뉴튼-랩슨법으로 n차 방정식의 근을 구하는 프로그램을 만들고 있는데
3차 방정식의 판별식 정말 큰 도움이 되었습니다.
혹시 4차 방정식의 판별식도 구해주신다면 ㅠ.ㅠ
안녕하세요? 네이버 C 카페에서 보신 분이네요!! 답글로 잘 달아놓았으니 참조하세요~~
비밀댓글입니다
근데;; 이거 근의 공식 안쓰는게 편하겟네요? 그쳐
ㅋㅋㅋㅋ왕왕 공감해요^^
저기.. 위에 식에서 세제곱루트 씌워져있는수는 (S랑 T는)
실수를 뜻하는거죠?
저 ... 이 글 좀 퍼가겠습니다;; ㅎ
문과 재수생인데요;
와..
어떤모양의 함수인지 확일할때
미분 안써도 되네요
감사합니다.
psi 님 크롬에서도 엑박이 뜹니다. 파폭 온리인듯
sitmo라고만 뜨고 그림이 안보이는데 어떡하죠?ㅠㅠㅠㅠ