산술평균 - 기하평균 부등식 (AM - GM Inequality) 의 증명

산술 평균 - 기하 평균 부등식
(Arithmetic Mean - Geometric Mean Inequality )

$eq=a_1 , a_2 ,a_3 , .... a_n \in R_0^+$

일 때, 다음 부등식이 성립한다.

$eq=\frac{a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_n } {n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2a_3\ ... \ a_n}$

증명 방법 1) 수학적 귀납법을 통한 증명

i) n = 1 일 때, 자명.

ii) n = k 일 때,

$eq=\frac{a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_k } {k} \ge \sqrt[k]{a_1a_2a_3\ ... \ a_k}$

위 부등식이 성립함을 가정

n = k + 1 일 때,

$eq=\frac{a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_{k+1} } {k+1} \ge \sqrt[k+1]{a_1a_2a_3\ ... \ a_{k+1}}$

위 부등식이 성립함을 보이자.

$eq=A = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + .... + a_{k+1} } {k+1}$

라고 하자.
이 때, ( 아래 식에서 k-1 개의 A 의 합 )

$eq=\frac{a_1+a_2+ ... a_k + a_{k+1} + \overbrace{A + A + .. +A}^{k-1} }{2k}$

$eq=\ge \frac {k\sqrt[k]{a_1 a_2 .... a_k} + k\sqrt[k]{a_{k+1} A^{k-1}}}{2k}$

$eq=\ge \frac {\sqrt[k]{a_1 a_2 .... a_k} + \sqrt[k]{a_{k+1} A^{k-1}}}{2}$

$eq=\ge\sqrt[k]{\sqrt{a_1a_2a_3 ... a_{k+1}A^{k-1}}}$

이 때,

$eq=\frac{a_1+a_2 + .... + a_k + a_{k+1} + (k-1)A}{2k}$

$eq== \frac{(k+1)A + (k-1)A }{2k} = \frac{2kA}{2k} = A$

따라서,

$eq= \therefore \ A \ge \sqrt[k]{\sqrt{a_1a_2...a_{k+1}A^{k-1}}}$

이 때, 양변을 2k 승 취해주면

$eq= A^{2k} \ge a_1a_2...a_{k+1}A^{k-1} \rightarrow A^{k+1} \ge a_1a_2 ... a_{k+1}$

따라서,

$eq=A = \frac{a_1+a_2+ .. a_{k+1} } {k+1} \ge \sqrt[k+1]{a_1a_2 ... a_{k+1}}$

( 등호는 $eq=a_1 = a_2 = ... = a_{k+1}$ )

따라서 수학적 귀납법에 의해, 모든 자연수 n 에 대해 준 부등식이 성립한다.

증명방법 2) Pólya 의 방법

수학자 Pólya 는 모든 실수 x 에 대해, 다음 부등식 ( 등호는 x = 0 일 때 )이 성립함을 이용해 증명하였다.

$eq=e^x \ge x + 1, \ \ x \in R$

μ 와, ρ 를 각각 산술 평균과 기하 평균이라고 하자.

$eq=\mu = \frac{a_1 + a_2 + ... a_n }{n}, \ \ \rho = \sqrt[n]{a_1a_2....a_n}$

이 때, 위의 부등식에서

$eq=\exp (\frac{a_i}{\mu} - 1) \ge \frac{a_i}{\mu}$

따라서,

$eq=\prod_{i=1}^{n} \exp(\frac{a_i}{\mu} - 1) \ge \prod_{i=1}^{n}{\frac{a_i}{\mu}}$

이 때, 지수 법칙에 의해서

$eq=\exp ({ \frac{1}{\mu} (\sum_{i=1}^{n}a_i )- n}) > \prod_{i=1}^{n}\frac{a_i}{\mu}$

위 식에서 등호가 사라진 이유는, 좌변의 exp 안의 값이 0 이 되지 않기 때문이다.
이 때, μ 가 산술 평균이라 했으므로,

$eq= \frac{1}{\mu} (\sum_{i=1}^{n}a_i ) = \frac{1}{\mu} (n \mu )= n$

따라서 좌변은 exp(n-n) = exp(0) = 1
따라서

$eq=\exp ({ \frac{1}{\mu} (\sum_{i=1}^{n}a_i - n}) = 1 > \prod_{i=1}^{n}\frac{a_i}{\mu} = \frac{\rho ^n}{\mu^n}$

결과적으로,

$eq=\therefore 1 > \frac{\rho^n}{\mu^n}$

$eq=\therefore \mu> \rho \leftrightarrow \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$

참고로, 산술 기하 부등식의 일반화 적인 모양은 다음과 같다.

$eq=a_1, a_2, ... a_n \in R_0^+, \ x_1,x_2, ... x_n \in R_0^+$

$eq=x_1 + x_2 + ... x_n = x , \ x>0$

일 때, 다음 부등식을 만족한다.

$eq=\frac{a_1x_1 + a_2x_2 + ... a_nx_n}{x} \ge \sqrt[x]{a_1^{x_1}a_2^{x_2} ... a_n^{x_n} }$

이 부등식은 젠센 부등식으로 증명 가능하다.

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