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안녕하세요 여러분! 제 블로그에서 오늘 하루도 좋은 시간 보내세요.

여러가지 재미있는 풀이들
1. 1 = -1 이다.

이 문제의 경우 많은 (틀린)증명들이 있다. 한 번 살펴보자 .

방법 1


다음이 성립한다고 가정하자.
    -1 = -1 \,
이 때, 위를 분수로 변형하면 아래와 같이 된다.
\frac{1}{-1} = \frac{-1}{1}
이 때, 양변에 루트를 씌운다면,
\sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}}
\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}
이제 양변을 \sqrt{1}\cdot\sqrt{-1} 로 나누자.
 
\sqrt{1}\cdot\sqrt{1} = \sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}
모든 수(실수와 허수를 포함한) 의 대하여 그 수의 근호의 제곱은 원래 수를 도출하므로,
\displaystyle{1 = -1}
Q.E.D.
언뜻 보면 맞는 것 같다. 그런데, 여기서 틀린 부분이 있는데, 바로 위 3번째 줄에서 4번째 줄으로 넘어가는 부분에서,
\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
가 성립하려면, x,y 모두 양수 여야 한다.그런데 위의 경우 y 가 음수이므로 성립을 안한다.

방법 2
1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1
Q.E.D.

이는 근호를 적절하게 변형해서 위와 같은 결론을 도출했는데,

\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} 
가 성립하려면 x,y 중 적어도 한 수는 양의 실수여야 한다. 왜냐면 둘 다 음수 인 경우, 복소수의 관점에서 볼 때, 제곱근 함수는 두 가지의 서로 다른 값을 가질 수 있기 때문이다. 따라서 위의 경우 우변은 1,-1 이 두 개의 값을 모두 가진다.

방법 3


-1 = (-1)^3 = (-1)^\frac{6}{2} = ((-1)^6)^\frac{1}{2} = 1^\frac{1}{2} = 1
Q.E.D.
이것은 지수를 적절히 변형시켜서 결과를 도출해 냈다.
그런데, abc = (ab)가 성립 하려면 a 가 양수여야 하지만 위의 경우 a 가 음수이므로 모순.
방법 4


다음은 삼각함수의 제곱관계를 이용한 증명이다.
일단 아래 식이 성립한다.
\,\cos^2x =1-\sin^2x
이 때 양변에 3/2 승을 취하면
(\cos^2x)^\frac{3}{2}=(1-\sin^2x)^\frac{3}{2}
(\cos^3x)=(1-\sin^2x)^\frac{3}{2}
이 때 x 가 π ( = 180 ) 일 때,
-1=(1-0)^\frac{3}{2}
-1=1 \,
가 성립한다.
Q.E.D.

그런데 이 역시 위 처럼 (ab)c = abc 가 성립하려면 a 가 양수여야 하는데 아니므로 모순.
2. 모든 실수 x,y 에 대해 x=y 이다.
우리는 ab = ac  가 성립하면, b=c 임을 알 고 있다. 그런데 1x = 1y 이므로 x=y 이다.

이는 a=1 일 때 만 성립하므로 말이 안된다.

3. 루트 -1 은 1이다.
\sqrt{-1} = (-1)^\frac{2}{4} = ((-1)^2)^\frac{1}{4} = 1^\frac{1}{4} = 1
Q.E.D.

이 증명의 오류는 맨 마지막 변환에서 나타나는데, 1의 사제곱근은 1의 값을 가지기도 하지만, -1, i, -i 도 값으로 가지기 때문에 틀렸다.
4. 2=1 이다.

a,b 가 0이 아닐 때,
a = b \,

가 성립한다고 하자. 이 때, 양변에 a 를 곱하면

a^2 = ab \,

가 된다. 양변에서 b 를 빼주면

a^2 - b^2 = ab - b^2 \,

가 되고 인수분해를 하면,

(a - b)(a + b) = b(a - b) \,

가 된다. 이 때 양변을 a-b 로 나누면

a + b = b \,

이다.  그런데 위의 조건에서 a=b 이므로

b + b = b \,
2b = b \,
2 = 1 \,
이다.
Q.E.D.
  이 재미있는 증명은 매우 유명하다. 이 증명의 오류는 4번째 줄에서 5번째 줄에서 넘어갈 때, a-b 로 나누는 부분인데, 이미 조건에 의해 a=b 이므로 a-b=0 이므로 0으로 나누는 셈이 된다. 따라서 틀렸다.

5. 0=1 이다.

다음과 같은 무한한 수열을 정의하자.
0 = 0 + 0 + 0 + \cdots

이 때, 0 = 1-1 이므로

0 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots

이 때, 위 수열을 다음과 같이 바꿀 수 있다.

0 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots

이 때 -1+1=0 이므로,

0 = 1 + 0 + 0 + 0 + \cdots

따라서

0 = 1 \,
Q.E.D.
  위 증명의 오류는 덧셈의 결합법칙이 무한급수에서는 자유롭게 성립 할 수 없음에서 나온다. 이 말은 2번째 줄에서 3번째 줄로 변환이 불가능 하다는 것이다.

6. 모든 양수들의 합은 음수이다.
S 와 A 를 다음과 같이 정의하자.
사용자 삽입 이미지

사용자 삽입 이미지

이 때, S-A = (1-1) + (2-(-2)) + (3-3) + .... =       4  + 8  + 12 + ... = 4S   - ①
         S+A = (1+1) + (2+(-2)) + (3+3) + .... = 2  + 6  + 10 + 14 + ... = 4S+(2+2+....)  - ②

따라서 위의 ①, ② 식을 더하면
2S = 8S + (2+2+2+2+\cdots)
\Rightarrow S = -\left(\frac{1}{6}\right)(2+2+2+2+\cdots)\; .
따라서 모든 양수들의 합은 음수이다.
Q.E.D.
  위 증명은 발산하는 무한급수가 보통의 산술 법칙을 따를 것이라는 오류로 부터 출발한다.

7. 모든 각의 크기는 0도 이다.
사용자 삽입 이미지

  일단 직사각형 ABCD 를 잡자. 이 때 평면위에 DC = EC 인 점 E 를 잡자(단, ∠DCE=0 이 아니다. ) 이 때 선분 AD 의 중점 F 와 AE 의 중점 G 를 잡고 F 와 G 의 수선의 교점(즉, AD 와 AE 의 수직이등분선의 교점) 을 H 라 하자.
  이 때, H 는 선분 AD의 수직이등분선위의 점이므로 AH 와 AD 가 같고 마찬가지로 AH 와 HE 가 같다. 따라서 DH 와 HE 는 같다. -> AH= DH = HE
  또한 ABCD 가 직사각형 이므로 AB=DC 이고 DC=DE 인 점 E 를 잡았으므로
AB=DC=DE 이다. 마지막으로 AD,BC 가 평행하고 같으므로 선분 FH 는 BC 를 수직이등분 하므로 BH=CH 이다.
  ∴ Δ ABH ≡ Δ DCH ≡ Δ HCE (SSS) 이다.
  ∴ ∠DCH = ∠ ECH 이다. 그런데, ∠ECH = ∠DCH + ∠DCE 이므로 ∠DCE = 0 이다.
  결과적으로  ∠DCE ≠ 0 = 0 -> 모든 각은 0 이다.
Q.E.D.

  이 증명의 오류는 마지막 단계에서 나타난다. 위 그림을 정확하게 그린다면, ΔECH 의 모습은 직선 CH 에 대해 ΔDCH 의 반대쪽에 나타난다. 따라서 ∠ECH = ∠DCH + ∠DCE 이란 식은 아무 의미가 없다.

8. 1<0 이다.

일단 x 가 아래의 범위를 만족시킨다고 하자.
\displaystyle{0 < x < 1}
양변에 로그를 취하면
\displaystyle{\ln (x) < 0}

이 때 양변을 ln(x) 로 나누면

\displaystyle{1 < 0}

Q.E.D.

  위 증명의 오류는 마지막 부분에 ln(x) 로 나누는 부분인데, 0 < x < 1 일 때, ln(x) 는 음수값을 가지므로 나누게 된다면 부등호의 방향이 바뀌면서 1>0 이된다.


  지금까지 황당한 결과를 내놓는 황당한 풀이들을 보았다. 나중에 수학에서 증명할 때 위와 같은 오류들(대표적으로 0으로 나눈다는 등...) 을 범하지 않도록 노력해야 한다.

  참고로 내 개인적인 생각으로는 1은 1이다. 1은  0보다 작지도 않고 -1도, 0도 아니다.

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