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안녕하세요 여러분! 제 블로그에서 오늘 하루도 좋은 시간 보내세요.

  일반적으로 5차 이상의 방정식의 일반적인 해를 구할 수 없다는 사실은 잘 알려져 있다. 하지만 컴퓨터로 종종 5차 이상의 방정식의 해를 구할 필요가 생기게 된다. 이 때, 사람들은 뉴턴(Issac Newton) 과 랩슨(Joseph Raphson) 이 개발한 뉴턴-랩슨 법, 또는 그냥 뉴턴 법이라 알려진 방법을 이용하면 해의 근사치를 쉽게 구할 수 있다. 뉴튼 랩슨법은 상당히 단순함에도 불구하고 다항식의 해에 '매우 빠르게' 근접할 수 있다. 대부분의 경우 4 ~ 5회 정도 시행하게 된다면 10-⁴정도의 오차 내로 해를 구할 수 있게 된다.
 

  어떤 함수 ƒ : [ab] → R 가 구간 [ab] 에서 미분 가능하다고 하자. (이 때, 이 함수의 해가 구간 [a,b] 안에 있다고 가정하자) 그렇다면 해로 추정되는 값 xn 을 생각할 수 있다. 따라서 xn 에서의 접선을 구해서 그 접선의 x 절편 xn+1 을 구한다면 그 점은 xn 보다 좀더 해에 근접하여 있을 것이다. (위 그림에 잘 나타나어 있다) 마찬가지 방법으로 위 작업을 계속 시행해 나간다면 결과적으로 위 함수 f 의 해 x 에 수렴하게 될 것이다.
(이 사실은 여기에 보면 잘 나타나 있다)

  위 작업을 수식으로 표현한다면 아래와 같다.

 

  이 때, f'(x) 는 f(x) 의 1계 도함수 이다. 위 식을 다시 정리한다면



  가 된다.

  초기에 x0 를 어떻게 잡을 지는 큰 상관이 없다. 되도록 해에 근접한 값 일수록 해에 빠르게 가까워 지지만 구간 [a,b] 내 에서 어떠한 값을 잡아도 해를 구하는데 에는 큰 문자게 없다. 이 때 한 가지 주의해야 할 점은 ƒ'(x0) ≠ 0 가 되게 잡아야 한다.

  자, 그럼 위 뉴튼 랩슨 법을 실제로 적용 시켜 보자.



  우리는 위 단순한 이차 방정식의 x 값을 뉴튼 랩슨법으로 구해보는 연습을 해 볼것이다. 일단, 위 방정식의 해 x 는 아래 함수의 해 라고 말할 수 있다.



  또한, 간단한 미분을 통해 위 함수 f 의 도함수 f' 를 구할 수 있다.



  이 때, 위 f(x) 는 모든 실수에 대해 미분 가능하므로 굳이 구간을 따질 필요가 없다. 따라서, 초기의 값 x0 를 10 이라 하고 계산해 보자.



  결과적으로 우리는 5 회만 계산했는데도 불구하고 위 방정식의 해를 소수점 7 번째 자리 까지 얻을 수 있었다. 보통 컴퓨터는 오차 이하 범위 까지 계산 한 후 계산을 중지한다.

  뉴튼 랩슨 법은 다항 함수에 대해서만 적용되는 것이 아니라 다항 함수가 아니여도 조건들을 만족한다면 똑같은 방법으로 해를 구할 수 있다. 이번에는 cos x = x3 의 해를 구해 보도록 하자. 이는 아래 함수의 해 이다.



  우리는 cos x 의 범위가 -1 부터 1 사이라는 것을 알고, 위 함수가 그 구간 내에서 미분 가능하다는 사실을 알고 있다. 또한 x > 1 이라면 x3 > 1 임을 알기 때문에  -1 < x < 1 이여야 하는 사실도 안다. 따라서 초기 값 x0 = 0.5 로 설정하자. 위 함수의 도함수를 구하면



가 된다. 이 때 마찬가지 방법으로 뉴튼 랩슨 법을 적용 시킨다면



로 6 회 만에 소수점 13 자리 까지 매우 정확한 해를 구할 수 있게 된다.

  뉴튼 랩슨 법을 사용시 반드시 주의해야 할 점은 일단 그 함수가 미분 가능한 것인지 판단해야 하며 (다항 함수는 모두 미분 가능하다),  시작점에서 값이 0 이 되지 않는지 꼭 체크해 주어야 정확한 해를 구할 수 있게 된다. (물론 시작점에서 값이 0 이 된다면 나눗셈 오류가 발생하겠지만..)
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댓글을 달아 주세요

  1. Favicon of https://wiessen.tistory.com BlogIcon 애기_똥풀 2009.09.27 08:16 신고

    뉴턴 렌슨 법을 적용할 수 없는 경우도 있습니다.
    y= x^(1/3) 의 해를 x0= 1 에서 부터 구하면...?

    • Favicon of https://kevin0960.tistory.com BlogIcon Psi 2009.09.27 11:16 신고

      함수가 $x = 0$ 에서 미분 불가능 하지 않았나요..? 그런데 초기 값을 $x_0 \neq 0$ 이라고 하면 해가 0 에 한없기 가까워 질 뿐 0 이 되지 않기 때문에 큰 문제가 없을 것 같네요.

    • Favicon of https://wiessen.tistory.com BlogIcon 애기_똥풀 2009.09.27 12:01 신고

      아. 미분 불능의 문제가 있었군요. $x = y^3+ y$ 이라고 하면 문제가 해결되려나... (음함수 꼴이지만, 삼차방정식은 대수적으로 풀수 있으니 큰 상관은 없는 듯 합니다.)

      그런데 그것이 중요한 것이 아니라, 초기 값을 $x_0 = 1$ 이라고 하면, 원점으로부터 점점 멀어집니다. 그래프를 그려서 확인해 보세요. (계산을 해 보아도 되구요.)

    • Favicon of https://kevin0960.tistory.com BlogIcon Psi 2009.09.27 12:10 신고

      $y=x^{\frac{1}{3}}$ 을 $x_0 = 1$ 로 해도 Newton Method 적용 시키면 잘 되는것 같은데요... (물론 다른 방정식들에 비해 해에 매우 느리게 수렴함)

      http://www.math.sc.edu/cgi-bin/sumcgi/Newton.pl

      에서 한 번 돌려 보실 수 있습니다.

  2. smartic 2010.02.27 01:25

    머리아퍼

  3. asdf 2012.02.17 21:58

    허접한 고3에게는 매우 흥미로운 개념이네요 ㅎㅎ
    미분을 활용한 예로써 아주 인상깊었어요.

  4. cjs3522 2012.03.03 21:58

    퍼갑니다. 감사합니다.

  5. Favicon of http://www.totallgreen.com.br/madeira-plastica/deck-de-piscina/ BlogIcon deck de madeira 2012.05.10 05:03

    여기 당신과 함께 봐야 겠는 데요. 그게 바로 내가 일반적으로 할 것이 아닙니다! 사람들이 생각하는 것입니다 게시물을 읽고 즐길 수 있습니다. 또한, 내가 코멘트 수 있도록 주셔서 감사합니다!