3차방정식의 근의 공식( 카르다노의 해법) 과 판별식

3차 함수

삼차 방정식의 기본꼴은 다음과 같다.

 이 때, x 를 다음과 같이 치환하자.

왜냐면, 위 삼차방정식의 2차항을 소거하기 위함이다. 따라서 준식은 다음과 같이 된다.

이 때 편리성을 위해서 다음과 같이 치환하자.

따라서 준식은

  이 때, 이러한 꼴의 방정식은 depressed cubic  이라부르며, 이에 대한 해법은 1545년 타르탈리아 (Tartaglia) 에 의해 처음으로 발견하였고 카르다노(Cardano)가 처음으로 출판하였다.

  일단, 새로운 문자 u , v 를 정의하여 다음과 같이 하자.

    따라서, 위 depressed cubic 을 치환해 보면 다음과 같이 된다.

 

  위를 전개해서 간단히 하면 다음과 같이 된다.

 
그런데 위에서 u, v 를 정의한 바에 따라

이므로, 위의 식은 아래와 같이 된다.

양변에 u³ 을 곱하면

그런데, 위의 조건에서

이므로, 위의 식에 대입하면 아래와 같이 된다.

따라서,  u³ 을 y 로 치환하면 위의 식은 이차 방정식이 되므로 근의 공식에 따라 해를 구할 수 있다. 해를 구해보면,

따라서, u 는 아래와 같다

이 때, v = -p / 3u 이므로 아래와 같다.

결과적으로, t = u + v 이고, x = t - a/3 이므로 각각을 대입해서 해를 구해보면 아래와 같다. 편의상 S, T 를 아래와 같이 치환하자

  삼차 방정식의 세 근을 x₁, x₂, x₃이라고 하면

3 차 방정식의 판별식

편의상, q 와 r 을 아래와 같이 치환하자.

Δ < 0 일 때, 위 삼차방정식은 3개의 서로다른 실수 해를 갖는다.
Δ = 0 일 때, 적어도 두 개의 근이 같다.
Δ > 0 일 때, 한 개의 실수 해와, 두 개의 켤레복소수인 해를 같는다.