라그랑즈의 네제곱수 정리와 그 증명(Four square theorem)

원래 네제곱수 정리는 디오판타스의 '산술' 에 처음 실렸지만 증명되지 못했다.

1770년에 수학자 르장드르 (Joseph Louis Lagrange)는 모든 양의 정수는 네 제곱수의 합으로 표현될 수 있음을 보였다. 예를 들어,

3 = 1² + 1² + 1² + 0², 31 = 5² + 2² + 1² + 1², 310 = 17² + 4² + 2² + 1²

와 같다.

라그랑즈의 네 제곱수 정리
모든 자연수 n 의 대해, n 은 아래의 식을 만족하는 네 개의 양의 음이 아닌 정수 a,b,c,d 가 존재한다.

$eq=\forall n \in N, ~~n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$

일단, 위 정리의 증명은 3 개의 보조 정리를 필요로 한다.

보조정리 1)
어떤 두 자연수 m, n 이 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다면, mn 도 네 개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다.

m,n 을 각각 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$eq=m = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 , ~ n = x^2 + y^2 + z^2 + w^2$

이 때, 두 수의 곱 mn 은 다음과 같이 네 제곱수의 합으로 표현된다.

$eq=mn = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(x^2 + y^2 + z^2 + w^2) \\ = (ax + by + cz + dw)^2 + (ay-bx-cw+dz)^2 \\ + (az + bw- cx + dy)^2 + (aw + bz -cy - dx)^2$

따라서, 증명 끝

보조정리 2)
만약 어떤 짝수 2m 이 두 제곱수의 합으로 표현된다면, m 도 두 제곱수의 합으로 표현 가능하다.

2m 을 다음과 같이 나타낼 수 있다. (단, x,y 는 두 음아닌 정수)

$eq=2m = x^2 + y^2$

만약 x 와 y 가 기우성이 다르다면 좌변이 홀수가 되므로 x,y 는 기우성이 같다. 따라서, x+y, x-y 는 모두 짝수 이다. 따라서, m 은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$eq=m = (\frac{x+y}{2})^2 + (\frac{x-y}{2})^2$

이 때, x+y 와 x-y 가 모두 짝수 이므로 m 은 두 음아닌 정수의 제곱의 합으로 표현 가능하다. 증명 끝.

보조정리 3)
만약 p 가 홀수인 소수라면 아래 조건을 만족하는 정수 a,b,k 가 존재한다.

$eq=a^2 + b^2 + 1 = kp, ~~0 < k < p$

p 가 홀수인 소수이므로 p 를 2n + 1 이라고 할 수 있다. (단, n 은 양의 정수)
이 때, 두 집합 A, B 를 아래와 같이 정의하자.

$eq=A = \{ a^2 |~ a = 0, 1, ... , n \} , B = \{ -b^2 - 1 | ~b = 0, 1, ..., n \}$

이 때, 집합 A, B 는 각각 (mod p) 에 대해 같은 값이 없다.

만약 집합 A 에서 임의의 서로다른 원소 x², y² 가 (mod p)에 대해 같다면 p 가 x² - y² 가 나누므로 p 가 x-y 또는 x+y 를 나누게 된다.

그런데 x-y 는 범위가 -n 이상 n 이하이므로 p 가 나눈다면 x - y = 0 이 되어 x,y 가 서로 다르다는 조건에 모순. 또한 x+y 는 범위가 1 이상 2n-1 이하이므로 p 가 나눌 수 없다.

마찬가지 방법으로 하면 B 또한 모든 원소들이 mod p 에 대해 다른 값을 가진다.

만약

$eq=A \cap B = \phi$

라면,

$eq=_n(A \cup B) = (n+1) + (n+1) = 2n + 2 ,$

이고, 집합 C 를 아래와 같이 정의할 때 A 와 B 는 모두 집합 C 의 부분집합이다^[각주:1]

$eq=C = \{0, 1, 2, ... , p-1 \},~ A \subset C, ~ B \subset C$

그런데 집합 C 의 원소의 개수가 2n + 1 개 이므로, 비둘기집의 원리에 의해 집합 A 와 B의 교집합이 부분집합이 아니다. 따라서 이는 위 가정에 모순.

결과적으로

$eq=_n(A \cap B ) \ne 0$

따라서, 우리는 각 집합의 두 원소에 대해 mod p 값이 같은 a² 와 (-b² - 1) 을 고를 수 있다.

$eq=\therefore a^2 \equiv -1 - b^2~(mod~ p) \leftrightarrow a^2 + b^2 + 1 \equiv 0 ~(mod ~p)$

이 때,

$eq=a^2 + b^2 + 1 = kp \le n^2 + n^2 + 1 = 2n^2 + 1 = <(2n+1)(2n+1)$

이므로, k < p 도 성립한다. 따라서 증명 끝.

참고로, kp 가 3 개의 제곱수의 합으로 표현되는 것이 아니라 아래처럼 4 개의 제곱수의 합으로 표현된다고 생각하자.

$eq=kp = a^2 + b^2 + 1^2 + 0^2$

따라서, 우리는 p 의 배수 중 4 개의 제곱수으로 표현되는 수 kp 가 존재함을 알 수 있다.

라그랑즈 정리 증명 (Proof of Lagrange's Four Square Theorem)

1 은 자명하게 1² + 0² + 0² + 0² 로 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다.

이제, 모든 소수 p 를 4 개의 제곱수의 합으로 표현할 수 있음을 보이자.
p = 2 일 때; 2 = 1² + 1² + 0² + 0² 이므로 성립한다.

p 가 홀수인 소수일때;
4 개의 제곱수의 합으로 표현되는 최초의 p 의 배수가 kp 일 때, k = 1 임을 보이자.

일단, 보조정리 3 에 따라 어떤 p 의 배수 kp 가 4 개의 제곱수의 합으로 표현되는데, 이 때 k를 4 개의 제곱수의 합으로 표현되는 것들 중의 최소의 k 라고 생각하자.

① 2 | k 일 때.

보조정리 3 에 따라 kp 는 4 개의 제곱수의 합으로 표현된다.

$eq=kp = x^2 + y^2 + z^2 + w^2 \equiv~ 0 (mod~ 2)$

이므로, 아래와 같이 말할 수 있다.

$eq=WLOG ~~x \equiv y~ (mod~ 2),~ z \equiv w~ (mod ~2)$

따라서, 보조정리 2 에 따라,

$eq=(\frac{x+y}{2})^2+(\frac{x-y}{2})^2+(\frac{z+w}{2})^2+(\frac{z-w}{2})^2 = (\frac{k}{2})p$

이므로 k 의 최소성에 모순

② 2 가 k 를 나누지 못할 때. (단 k 는 3 이상)

보조정리 3 에 따라 아래 식을 만족하는 x,y,z,w 가 존재.

$eq=x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = kp \equiv 0 ~(mod ~k)$

이 때, a,b,c,d 를 다음과 같이 정의하자.

$eq=x \equiv a ,~ y \equiv b, ~z \equiv c,~ w\equiv d (mod ~ k) \\( |a|, ~|b|,~ |c|,~ |d| < \frac{k}{2} )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

따라서,

$eq=nk = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |d|^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$

인 n 이 존재. 그런데,

$eq=nk = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 < 4 \times \frac{k^2}{4} = k^2$

이므로,

$eq=0 \le n < k$

이 된다.

i) n = 0 이라면

$eq=a=b=c=d=0$

이므로,

$eq=x \equiv y \equiv z \equiv w \equiv 0 ~ (mod ~ k)$

이다. 이 때,

$eq=\frac{p}{k} = (\frac{x}{k})^2+(\frac{y}{k})^2+(\frac{z}{k})^2+(\frac{w}{k})^2 \in N$

가 되므로

$eq=\therefore p = k$

따라서, k < p 라는 조건에 모순이다.

ii) n 이 0 이 아니라면,

결과적으로 nk 와 kp 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$eq=nk = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ,~ kp = x^2 + y^2 + z^2 + w^2$

이 때, 보조정리 1 에 의해 nk 와 kp 의 곱인 npk² 은 다음과 같이 나타내진다.

$eq=nk^2 p = r^2 + s^2 + t^2 + u^2 \\ r = ax + by + cz+ dw \\ s = ay - bx - cw + dz \\ t = az - bw -cx+dy \\ u = aw +bz -cy - dx$

그런데 앞서

$eq=a \equiv x,~ b \equiv y,~c \equiv z ,~d\equiv w (mod~ p)$

라 했으므로

$eq=r \equiv x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = kp \equiv 0 (mod ~k) \\ s \equiv xy - yx + zw - wz \equiv 0 (mod ~k) \\ t \equiv xz - yw - zx + wy \equiv 0 (mod ~k) \\ u \equiv xw + yz - zy - wx \equiv 0 (mod ~k)$

가 된다. 따라서,

$eq=\frac{nk^2p}{k^2} = np = (\frac{r}{k})^2+(\frac{s}{k})^2+(\frac{t}{k})^2+(\frac{u}{k})^2 \in N$

가 되는데, n 은 k 보다 작으므로 k 의 최소성에 모순.

따라서, ① 과 ② 에 의해 k = 1 이다.
결과적으로 모든 소수 p 는 4 개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다.
그런데, 1 을 제외한 모든 자연수는 소수들의 곱으로 표현될 수 있다. 그런데, 보조정리 1 에 의해, 어떤 두 수 p,q 가 4 개의 제곱수의 합이면 pq 도 4 개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다. 따라서, 귀납적으로 모든 자연수 n 에 대해서 성립한다. □

여기서 부분집합 이라 하는 것은 (mod p) 에 대해서 원소를 보는 것이다. 예를 들어서 집합 {9, 11} 은 집합 {2,4,5} 의 (mod 7) 에 대한 부분집합 이라 볼 수 있다. 왜냐하면 9 와 11 의 mod 7 값이 각각 2 와 4 이기 때문이다. 이 증명에서도 마찬가지로 실제 숫자가 달라도 (mod p) 에대해서 같다면 그 원소가 같다고 보는 것이다. [본문으로]

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