코시 - 슈바르쯔 부등식( Cauchy - Schwarz Inequality ) 과 그 증명

코시-슈바르쯔 부등식

임의의 실수
  
에 대해서 다음 부등식을 만족한다.

 
 등호는 다음일 때 성립한다. (단, k 는 상수)
 
 이 부등식은 오귀스탱 루이 코시가 만들고, 카를 헤르만 아만더스 슈바르쯔가 덧붙인 중요한 절대부등식으로 벡터나 무한급수 등을 다룰 때 유용하게 쓰인다.

   이 부등식에는 여러가지 증명방법이 있지만 그 중에서도 가장 많이 쓰이는 증명방법 2가지를 소개하고자 한다.

증명 1 )
임의의 실수 t  에 대해서 다음 부등식들은 자명하다.
  

그러므로 위의 n 개의 모든 부등식들을 더하게 되면,

 

이 때,  이므로 판별식 D 의 값은 반드시 0 이하여야 한다. 그러므로

 

결과적으로 식을 정리하면
 이 성립한다.                       □

  증명 2 )

    유클리드 공간 Eⁿ 에서 벡터 x,y 를 각각
   으로 정의할 때
  , 즉 x,y 의 내적이라 하고,
 로 정의할 때,

  y=0  이라면 위 부등식은 자명하다.
  y가 0이 아니라면 , 복소수 λ 를 정의하자.

   
 일 때,
 이므로
식을 정리하면

결과적으로
 

□              

코시 부등식의 사용 예.

  a² + b² + c² + d² + e² = 16 , a + b + c + d + e = 8 라 할 때, e 의 최대값은?

  풀이)

    (a² + b² + c² + d²)(1² + 1² + 1² + 1²) ≥ ( a + b + c + d)²
    ↔ (16-e²)4 ≥ (8-e)²
    ↔ 0 ≥ 5e² - 16e
    ↔ 0 ≥ 5e ( e - 16/5 )

    ∴ e 의 최대값은 16/5