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체비셰프



  베르트랑의 공준에 따르면 2 이상의 자연수  n 에 대해, n < p < 2n 을 만족하는 소수 p 가 반드시 존재한다. 이는 최초로 체비셰프(Chebyshev)에 의해 증명되었으나 그의 증명인 길고 복잡하였다. 왜냐하면 체비셰프는 원래 이 문제를 증명한 것이 아니라 다른 문제를 해결하므로써 파생된 결과 이였기 때문이다. 후에 인도의 수학자 라마누잔(Ramanujan)이 쳬비셰프의 방법 보다 훨씬 간단한 방법으로 증명하였다. 하지만 나중에 폴 에르디시(Paul Erdős)가 기초적인 수학만을 사용하여 간결하게 증명하였는데, 여기 소개하고자 할 증명은 바로 폴 에르디시의 증명이다. (참고로 이 증명은 http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Bertrand%27s_postulate 에서 참조하였다. )


체비셰프의 정리
2 이상의 모든 자연수 n 에 대해서, n < p < 2n 을 만족하는 소수 p 가 존재한다.


  이 문제에 대해서는 보조정리가 5 개 필요하다.

보조정리 1)
모든 양의 정수 n 에 대하여 아래의 식이 성립한다.


증명)
일단, 이항정리에 따라
그런데,eq=\binom {2n}{n} 이 위 항들 중 가장 큰 항이므로,

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=4%5En%3D%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B2n%7D%5Cbinom%7B2n%7D%7Bk%7D%20%3C%20(2n%2B1)%20%5Cbinom%7B2n%7D%7Bn%7D%20%5C%5C%20%5Ctherefore%20%5Cfrac%7B4%5En%7D%7B2n%2B1%7D%20%3C%20%5Cbinom%7B2n%7D%7Bn%7D%20~~~~~~~~~~~~~~~~~~


보조정리 2)
R(p,n) 을 아래와 같이 정의하자.
이 때, 다음이 성립한다.


증명)

그런데,

 
이면, 위 시그마 항들이 모두 0 이 된다. 또한,



이므로, 전체의 합은


따라서,





보조정리 3)
p > \sqrt{2n}인 모든 소수 p 에 대해서 다음이 성립한다.


증명) 조건에 따라,

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=p%5E2%20%3E%202n%20%5Crightarrow%20%5Csum_%7Bk%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(%5B%5Cfrac%7B2n%7D%7Bp%5Ek%7D%5D%20-%202%5B%5Cfrac%7Bn%7D%7Bp%5Ek%7D%5D)%20%3D%200%20

이므로 성립. □

보조정리 4)
아래와 같이 소수곱 함수(primorial) 를 정의하자.


이 때, 1 보다 큰 모든 자연수 n 에 대해 다음이 성립한다.



증명)
수학적 귀납법으로 보이자.
i) n = 1, 2;


이므로 성립.
ii) (n- 1) 이하의 모든 자연수에 대해 성립을 가정하자
 
n 이 짝수 일 때;
n > 2 이고, 짝수인 소수는 2 가 유일하므로

이므로 성립

n 이 홀수 일 때;
n = 2m + 1 이라고 하자 . (단, m 은 자연수)


이 때, m + 1 < p < 2m + 2 인 모든 소수 p 에 대해 아래를 만족한다.


따라서,


결과적으로 귀납가정과 위에 의해서 아래의 식이 만족한다.



보조정리 5)
우리는 다음의 것들을 증명없이 이용하도록 하겠다. (증명이 워낙 간단하므로)

체비셰프 정리 증명)

  이번 증명에서는 귀류법을 이용하자. 일단, n ≤ 2048 일 때, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259, 2503 에 의해 성립. 따라서, n > 2048 일 때를 살펴보자.

어느 2048 보다 큰 임의의 자연수 n 에 대해, n < p < 2n 을 만족하는 소수가 존재하지 않음을 가정하자.

이 때, 아래의 조건을 만족하는 소수 p 를 생각하자.


따라서, 이러한 소수 p 는 아래의 조건들을 만족하지 않는다.
  • p ≥ 2n ; 왜냐하면 p | (2n)! 이고, p = 2n 이면 모순이므로 (왜냐하면 n 이 2049 이상)
  • n < p < 2n ; 왜냐하면 가정의 의해 n < p < 2n 인 소수 p 는 존재하지 않으므로.
  • 2n / 3 < p ≤ n; 만약, 이를 만족하는 소수 p 가 존재한다고 하면, n / p ≥ 1, 2n / p < 3 이고 , 보조정리 5 - 1 에 의해  p > \sqrt{2n} 이므로 보조정리 3 에 의해

이므로 p | \binom{2n}{n} 를 만족하는 소수 p 가 존재하지 않는다.

따라서, p | \binom{2n}{n}를 만족하는 모든 소수 p 는 p ≤ 2n / 3 을 만족한다.

이 때, 보조정리 2 에 의해 다음과 같이 될 수 있다.


또한, 보조정리 1 에 의해


이고, 보조정리 4 에 의해


따라서, 위 세 식에 의해 다음이 성립한다.


위 식을 정리하면


이 때, 보조정리 5 - 2,3 에 의하여



양변에 로그를 취하면

다시, 양변을 정리하면

이 때, 2n 을 2^{2t} 으로 치환한 후, 보조정리 5 -4 에 의해,


따라서,

이는 위에서 n > 2048 이라 한 데에 모순이다. 따라서, 귀류법에 의해 2 이상의 모든 자연수  n에 대해서, n < p < 2n 을 만족하는 소수 p 가 존재한다.

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Posted by

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  1. bobbie7 2010.01.25 12:43

    근데 보조정리 3에서 소수의 조건이 엑박뜨네요;;어떻게 좀 해주세요

  2. 익명 2010.04.04 15:49

    비밀댓글입니다

  3. Favicon of http://yut951121dotblogdotme BlogIcon 씨오엘티디 2014.03.14 10:04

    크롬 33 쓰고 있는데 모든 수식의 이미지가 "이미지를 불러올 수 없습니다" 곰돌이로 뜨네요.