태터데스크 관리자

도움말
닫기
적용하기   첫페이지 만들기

태터데스크 메시지

저장하였습니다.
cc 캠페인 함께해요!

안녕하세요 여러분! 제 블로그에서 오늘 하루도 좋은 시간 보내세요.

원래 네제곱수 정리는 디오판타스의 '산술' 에 처음 실렸지만 증명되지 못했다.


  1770년에 수학자 르장드르 (Joseph Louis Lagrange)는 모든 양의 정수는 네 제곱수의 합으로 표현될 수 있음을 보였다. 예를 들어,

3 = 12 + 12 + 12 + 02, 31 = 52 + 22 + 12 + 12, 310 = 172 + 42 + 22 + 12
와 같다.

라그랑즈의 네 제곱수 정리
모든 자연수 n 의 대해, n 은 아래의 식을 만족하는 네 개의 양의 음이 아닌 정수 a,b,c,d 가 존재한다.
 

  일단, 위 정리의 증명은 3 개의 보조 정리를 필요로 한다.

보조정리 1)
  어떤 두 자연수 m, n 이 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다면, mn 도 네 개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다.


m,n 을 각각 아래와 같이 나타낼 수 있다.


이 때, 두 수의 곱 mn 은 다음과 같이 네 제곱수의 합으로 표현된다.



따라서, 증명 끝

보조정리 2)
만약 어떤 짝수 2m 이 두 제곱수의 합으로 표현된다면, m 도 두 제곱수의 합으로 표현 가능하다.


  2m 을 다음과 같이 나타낼 수 있다. (단, x,y 는 두 음아닌 정수)


  만약 x 와 y 가 기우성이 다르다면 좌변이 홀수가 되므로 x,y 는 기우성이 같다. 따라서, x+y, x-y 는 모두 짝수 이다. 따라서, m 은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

  이 때, x+y 와 x-y 가 모두 짝수 이므로 m 은 두 음아닌 정수의 제곱의 합으로 표현 가능하다. 증명 끝.

보조정리 3)
만약 p 가 홀수인 소수라면 아래 조건을 만족하는 정수 a,b,k 가 존재한다.

p 가 홀수인 소수이므로 p 를 2n + 1 이라고 할 수 있다. (단, n 은 양의 정수)
이 때, 두 집합 A, B 를 아래와 같이 정의하자.


  이 때, 집합 A, B 는 각각 (mod p) 에 대해 같은 값이 없다.

  만약 집합 A 에서 임의의 서로다른 원소 x², y² 가 (mod p)에 대해 같다면 p 가 x² - y² 가 나누므로 p 가 x-y 또는 x+y 를 나누게 된다.

  그런데 x-y 는 범위가 -n 이상 n 이하이므로 p 가 나눈다면 x - y = 0 이 되어 x,y 가 서로 다르다는 조건에 모순. 또한 x+y 는 범위가 1 이상 2n-1 이하이므로 p 가 나눌 수 없다.

  마찬가지 방법으로 하면 B 또한 모든 원소들이 mod p 에 대해 다른 값을 가진다.

만약


라면,



이고, 집합 C 를 아래와 같이 정의할 때 A 와 B 는 모두 집합 C 의 부분집합이다
[각주:1]


그런데 집합 C 의 원소의 개수가 2n + 1 개 이므로, 비둘기집의 원리에 의해 집합 A 와 B의 교집합이 부분집합이 아니다. 따라서 이는 위 가정에 모순.


결과적으로


따라서, 우리는 각 집합의 두 원소에 대해 mod p 값이 같은 a² 와 (-b² - 1) 을 고를 수 있다.



이 때,


이므로, k < p 도 성립한다. 따라서 증명 끝.


참고로, kp 가 3 개의 제곱수의 합으로 표현되는 것이 아니라 아래처럼 4 개의 제곱수의 합으로 표현된다고 생각하자.


따라서, 우리는 p 의 배수 중 4 개의 제곱수으로 표현되는 수 kp 가 존재함을 알 수 있다.


라그랑즈 정리 증명 (Proof of Lagrange's Four Square Theorem

1 은 자명하게 1² + 0² + 0² + 0² 로 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다.

이제, 모든 소수 p 를 4 개의 제곱수의 합으로 표현할 수 있음을 보이자.
p = 2 일 때; 2 = 1² + 1² + 0² + 0² 이므로 성립한다.

p 가 홀수인 소수일때;
4 개의 제곱수의 합으로 표현되는 최초의 p 의 배수가 kp 일 때, k = 1 임을 보이자.

일단, 보조정리 3 에 따라 어떤 p 의 배수 kp 가 4 개의 제곱수의 합으로 표현되는데, 이 때 k를 4 개의 제곱수의 합으로 표현되는 것들 중의 최소의 k 라고 생각하자.

① 2 | k 일 때.

보조정리 3 에 따라 kp 는 4 개의 제곱수의 합으로 표현된다.


이므로, 아래와 같이 말할 수 있다.



따라서, 보조정리 2 에 따라,


이므로 k 의 최소성에 모순


② 2 가 k 를 나누지 못할 때. (단 k 는 3 이상)

보조정리 3 에 따라 아래 식을 만족하는 x,y,z,w 가 존재.


이 때, a,b,c,d 를 다음과 같이 정의하자. 



따라서,



인 n 이 존재. 그런데,

이므로,


이 된다.


i) n = 0 이라면


이므로,



이다. 이 때, 



가 되므로


따라서, k < p 라는 조건에 모순이다.


ii) n 이 0 이 아니라면,

결과적으로 nk 와 kp 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.


이 때, 보조정리 1 에 의해 nk 와 kp 의 곱인 npk² 은 다음과 같이 나타내진다.



그런데 앞서


라 했으므로



가 된다. 따라서,


가 되는데, n 은 k 보다 작으므로 k 의 최소성에 모순.



따라서, ① 과 ② 에 의해 k = 1 이다.
결과적으로 모든 소수 p 는 4 개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다.
그런데, 1 을 제외한 모든 자연수는 소수들의 곱으로 표현될 수 있다. 그런데, 보조정리 1 에 의해, 어떤 두 수 p,q 가 4 개의 제곱수의 합이면 pq 도 4 개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다. 따라서, 귀납적으로 모든 자연수 n 에 대해서 성립한다. □

  1. 여기서 부분집합 이라 하는 것은 (mod p) 에 대해서 원소를 보는 것이다. 예를 들어서 집합 {9, 11} 은 집합 {2,4,5} 의 (mod 7) 에 대한 부분집합 이라 볼 수 있다. 왜냐하면 9 와 11 의 mod 7 값이 각각 2 와 4 이기 때문이다. 이 증명에서도 마찬가지로 실제 숫자가 달라도 (mod p) 에대해서 같다면 그 원소가 같다고 보는 것이다. [본문으로]
RSS 로 제 글을 구독해 보세요! 이 글이 유용하셨다면 RSS 로 구독해 보세요! RSS 로 구독하시면 저의 글을 실시간으로 받아서 보실 수 있습니다. 왼쪽 아이콘을 클릭하세요!

Posted by

댓글을 달아 주세요

  1. strength 2009.04.23 15:22

    안녕하세요, psi님.

    psi님의 블로그를 살펴본 결과, 님은 굉장히 수학분야쪽에 흥미가 있으신가 봅니다.

    그러한 두뇌를 가진 psi님, 한번 저희 까페에 오시면 안되겠습니까?

    까페이름이 '수학문제푸는동네',즉 수푸동입니다.

    이곳은 수학문제들을 묻고 답하는 곳인데, 한번 오셔서 호기심을 푸시고 답변을 해주시면 안되

    겠습니까?

    까페주소이니 한번 오세요 ㅎㅎ

    뭐 오시지않는다면 할 수 없지만 그래도 저는 psi님을 굉장히 초청하고 싶습니다

    까페 주소 : http://cafe.daum.net/math

    부탁드립니다..

  2. elory 2010.05.25 00:09

    좋은 글 퍼갑니다~

    감사합니다~