라그랑즈의 네제곱수 정리와 그 증명(Four square theorem)
1770년에 수학자 르장드르 (Joseph Louis Lagrange)는 모든 양의 정수는 네 제곱수의 합으로 표현될 수 있음을 보였다. 예를 들어, 3 = 12 + 12 + 12 + 02, 31 = 52 + 22 + 12 + 12, 310 = 172 + 42 + 22 + 12 와 같다. 라그랑즈의 네 제곱수 정리 모든 자연수 n 의 대해, n 은 아래의 식을 만족하는 네 개의 양의 음이 아닌 정수 a,b,c,d 가 존재한다. 일단, 위 정리의 증명은 3 개의 보조 정리를 필요로 한다. 보조정리 1) 어떤 두 자연수 m, n 이 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다면, mn 도 네 개의 제곱수의 합으로 표현 가능하다. m,n 을 각각 아래와 같이 나타낼 수 있다. 이 때, 두 수의 곱 mn 은 ..
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