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4차


사차 방정식의 기본꼴은 다음과 같다.

eq=ax^4 +bx^3 +cx^2+dx+e=0

일단, 양변을 a 로 나누면

eq=x^4 +\frac{b}{a}x^3 +\frac{c}{a}x^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0

4차 방정식의 근을 구하려면 일단 3차 방정식과 비슷한 방법으로 3차 항을 없애주어야 한다.
따라서 x 를 다음과 같이 치환하자.

이 때 위를 원래 식에 대입을 하면

 
가 된다. 
이 때 위를 정리하면

 
이 때, α,β,γ 를 다음과 같이 치환하자.

eq=\alpha = \frac{-3b^2}{8a^2}+\frac{c}{a}  ,

 eq=\beta = \frac{b^3}{8a^3}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{d}{a}  ,

eq=\gamma = \frac{-3b^4}{256a^4}+\frac{cb^2}{16a^3}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{e}{a} 


이를 다시 방정식에 대입하면 준 방정식은

 
이 때
β = 0 인 경우 : 이는 u² 을 x 로 치환한 후, 이차 방정식을 풀면 된다.
γ = 0 인 경우 : 이는 u=0 일 때 해를 가지고 u 로 나눈 후, 3차 방정식을 풀면 된다. 참고적으로 말하자면 이를 depressed cubic 이라고 말하며, 풀이는 간단하다.
( 풀이 참조 : http://kevin0960.tistory.com/entry/3-차-방정식의-근의-공식-카르다노의-해법 )

만약 그렇지 않은 경우,  다음은 Ferrari 의 해법이다.

eq=(u^2 + \alpha)^2 -u^4 - 2u^2\alpha = \alpha^2

따라서 위 식에 식 (1) 을 대입하면 아래와 같이 된다.
 
이 때,


이고 ( 전개를 하면 된다.)


이다.  (위 도 마찬가지로 전개 해보면 된다. )
이 때, 위의 두 식을 통해 다음의 식을 유도할 수 있다. ( 위로 두 번째 식의 2yu2 에 위의 식을 대입 )


따라서 이 식을 위의 식 (2) 에 대입한다면


을 얻을 수 있다. 이 때, 우리가 생각해 봐야 할 점은, 우변이 제곱식이 되도록 y 값을 잘 조정해야 한다는 점이다. 따라서 우변이 제곱식이 되게 하는 y 값을 찾아보자.
일단,

이고,


이다. 따라서, (3) 식의 우변을 제곱식으로 만드는 y 는 다음의 방정식을 만족하게 된다.

위 식을 전개하면

eq=\beta^2 - 4(2y^3 + 5\alpha y^2 + (4\alpha ^2 - 2\gamma)y + (\alpha ^3 - \alpha \gamma))= 0

이제, 위 식을 다시 정리하면
eq=2y^3 + 5\alpha y^2 + (4\alpha ^2 -2 \gamma )y + (\alpha ^3 - \alpha \gamma - \frac{\beta ^2 }{4} ) = 0

따라서, 위의 식을 2 로 나눈다면 y 에 대한 3차 방정식이 탄생하게 된다.


이제, 위 식의 두번째 항을 없애기 위해 y 를 다음과 같이 치환하자.

eq=y =v-  \frac{5}{6}\alpha

위 치환된 y 를 다시 식에 대입하고 정리하면 다음과 같이 된다.


편의성을 위해 두번째 항과 세번째 항의 계수들을 각각 P,Q 로 치환하자.

따라서 위 방정식은 다음과 같이 바뀐다.


위 방정식은 Depressed Cubic 이라고 부르며, 이에 대한 풀이는 이미 여기서 많이 다루었다. 따라서 여기에서는 식 (4) 를 풀었다고 하자. 이 때, 그 해는 다음과 같다.


이 때, V 와 U 는 각각 다음과 같다.



이제, (5) 를 통한 y 의 값을 통해서 (3) 식의 우변을 제곱식으로 만들 수 있게 되었다.


위 식은 아래식과 같다.


가 된다. 따라서

이제 위 식을 u 를 기준으로 다시 정리하면

이 때, 복호동순이다.
따라서 근의 공식에 대입해서 u 값을 구한 후, u 값을 통해 x 값을 구할 수 있다.



한가지 유의할 점은, 두 개의 \pm_s 는 부호가 같고, \pm_t 는 달라도 된다.

Ferrari 의 해법을 다시 요약해 본다면, 어떠한 사차방정식


에 대해서, α, β, γ 를 각각 다음과 같이 치환하자.



eq=\gamma = - {3 B^4 \over 256 A^4} + {C B^2 \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A}

이 때, β = 0 이라면,

로 유일하고 , β 가 0 이 아니라면, P, Q, R 을 다음과 같이 치환하자.

라 하면,

이고, 편의상 α + 2y 를 W 로 치환하면

eq=W=\sqrt{ \alpha + 2 y}


이 때, 두 개의  \pm_s 는 부호가 같고, \pm_t 는 달라도 된다.


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  1. 2009.06.28 22:06 신고

    이거 다 알고 쓰시는 건지...;;

    천재이시네... 헐

    • Favicon of http://kevin0960.tistory.com BlogIcon Psi 2009.06.28 23:12 신고

      Wikipedia 의 내용을 적절히 번역한 것입니다. 솔직히 유도되는 과정은 별로 어렵지 않습니다. 단지 계산이 조금 힘들 뿐...

  2. smyou96 2011.01.03 19:48 신고

    정석보고(10-가/기본/225p) 지름길 찾으려고 하다가 가시밭길 칮은 꼴이군요 ;;
    이걸 쓰는 사람들이 진짜로 있을지..

  3. 노정빈 2017.02.16 09:39 신고

    Sitmo 만나와ㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏㅏ!!!!!?????


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